Induksi Matematika

Perhatikan pernyataan Berikut:

1. Joko mempunyai kartu penduduk
2. Yani mempunyai kartu penduduk
3. Nyimas mempunyai baju warna merah
4. Budi mempunyai kartu penduduk
5. Semua orang mempunyai kartu penduduk
6. Semua orang mempunyai baju warna merah

Pernyataan 1, 2, 3, dan 4 disebut pernyataan khusus

Pernyataan 5 dan 6 disebut pernyataan umum

Peningkatan dari pernyataan 1, 2, dan 4 ke 5 disebut induksi

Sebaliknya dari Pernyataaan 5 ke pernyataan 1, 2, dan 4 disebut deduksi

Apakah pernyataan:

“Semua orang mempunyai kartu penduduk” yang diperoleh dari pernyataan khusus:

1. Joko mempunyai kartu penduduk
2. Yani mempunyai kartu penduduk
3. Budi mempunyai kartu penduduk

Kebenarannya dapat dijamin?

Perhatikan fungsi kuadrat: F(x) = x² + x + 41

Nilai F(x) untuk nilai x = 0, 1, 2, 3, dan 4 adalah

F(0) = 41, F(1) = 43, F(2)= 47, F(3) = 53, dan F(4) = 61.

Semua nilai fungsi tersebut adalah bilangan prima

Jadi dapat disimpulkan: F(x) = x² + x + 41 merupakan fungsi bilangan prima untuk semua x bilangan bulat tak negatif

Apakah kesimpulan ini benar?

Prinsip Urutan:

Perhatikan Himpunan-himpunan berikut:

A = { bilangan bulat antara 5 dan 15}

= { x | 5 <>

= { x | 6 £ x £ 14, x bilangan bulat}

B = { bilangan bulat positif kurang dari 6}

= { x | 0 <>

= { x | 1 £ x £ 5, x bilangan bulat}

C = { bilangan rasional antara 1 dan 3}

= { x | 1 <>

D = { bilangan rasional positif kurang dari 2}

= { x | 0 <>

Apa perbedaan dari keempat himpunan tersebut jika ditinjau dari anggota-anggotanya?

Setiap himpunan bilangan bulat tak negtif S yang tidak kosong memuat elemen terkecil yaitu:

ada suatu bilangan bulat a anggota S sehingga a ≤ b untuk setiap b anggota S.

Pada setiap pasang bilangan berikut tentukanlah suatu bilangan bulat positif n, sehingga memenuhi hubungan yang ditetapkan.

1. (2, 7), 2n ³ 7
2. (5, 24), 5n ³ 24
3. (8, 75), 8n ³ 75
4. (1, 123), 1n ³ 123
5. (132, 458), 132n ³ 458
6. (58, 14), 58n ³ 14

7. Apakah setiap pasangan bilangan bulat positif a dan b terdapat bilangan bulat positif n, sehingga an ³ b?

Sifat Archimides:

Jika a dan b sembarang bilangan bulat positif, maka ada suatu bilangan bulat positif n sehingga na ³ b

Bukti:

Anggap sifat itu salah, yang benar adalah sebaliknya yaitu: Untuk setiap n bilangan bulat positif ada bilangan bulat positif a dan b sehingga na <>atau b – na > 0.

Akan dibuktikan kebenaran pernyataan itu dengan menggunakan sifat urutan sebagai berikut.

Misalkan S = {suatu bilangan bulat positif yang dinyatakan dalam bentuk (b – na)} atau

S = { b – na | n suatu bilangan bulat positif}.

Berdasarkan sifat urutan, maka S memiliki unsur ter kecil, sebutlah b – ma, m bilangan bulat positif.

Karena S memuat semua bilangan berbentuk b – na, maka tentu b – (m+1)a juga anggota S.

Selanjutnya didapat:

b – (m+1) a = b - ma – a = (b - ma) – a <>

Oleh karena b – (m+1)a < style=""> ini bertentangan dengan penetapan b – ma sebagai elemen terkecil di S.

Jadi anggapan bahwa sifat itu tidak benar adalah salah atau sifat Archimides itu adalah benar.